dinami-5.lex 
Котов А.Н.
МЕТОДИКА РАСЧЕТА ДИНАМИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРИВОДА
И ПОДБОРА ЭЛЕКТРОДВИГАТЕЛЯ
Предлагаемая методика расчета динамических параметров электромеханического привода является приближенной в связи с тем, что в ней не находят отражение электрические процессы, свойственные всем электромеханическим преобразователям. Тем не менее, она обеспечивает достаточно высокую точность расчетов для случаев простого разгона привода, что определяется малой инерционностью электрической подсистемы по сравнению с инерционностью механических вращающихся (и перемещающихся) элементов привода. Кроме того, при практических расчетах нет возможности найти по справочникам электрические параметры электродвигателей распространенных серий (например, индуктивности обмотки двигателя).
Для расчета динамики привода в системах автоматического регулирования и управления следует использовать методику, изложенную, например, в учебном пособии И.А.Михалева “ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИЙ РУЛЕВОЙ ПРИВОД АВТОПИЛОТА, учебное пособие по курсам Проектирование автопилотов, Конструкции автопилотов и расчет их элементов, изд. МВТУ, Москва, 1979 г.”или в книге В.А.Полковникова, Б.И.Петрова и др.”ЭЛЕКТРОПРИВОД ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ”, М., Машиностроение; 1990 г., 351 стр., ил.
   ВНИМАНИЕ !  Во всех формулах величины подставляются    	
   в  основных единицах системы СИ.                       	
1. Расчет параметров электродвигателя приборного привода,
при статической и инерционной нагрузке на выходе.
Параметры описания привода: 
Параметры относящиеся к электродвигателю:
Мном- номинальный момент электродвигателя, Нм 
Мп- пусковой момент электродвигателя, Нм kпуск- кратность пускового момента Мп/Мном 
w1= pŸn1/30 —угловая скорость вала электродвигателя, рад/с n1- номинальная частота вращения вала электродвигателя, об/мин,
Jя- момент инерции якоря электродвигателя, кгŸм2,
e1- угловое ускорение вала электродвигателя, рад/с2 
x —коэффициент запаса мощности электродвигателя
Параметры относящиеся к редуктору
привода вращательного движения:
iо=w1/w2 —передаточное отношение редуктора привода,
h —коэффициент полезного действия редуктора,
Мст- статический момент нагрузки на выходном валу, Нм,
w2- угловая скорость выходного вала редуктора, рад/с,
e2- угловое ускорение выходного вала редуктора, рад/с2 
Jр- собственый момент инерции редуктора привода, кгŸм2,
Jн- момент инерции нагрузки на выходном валу, кгŸм2,
Приведенные параметры: 
Jрпр —приведенный к валу электродвигателя собственный момент инерции редуктора, кгŸм2, (на этапе выбора электродвигателя собственный приведенный момент инерции редуктора неизвестен, но, как показвает опыт, он составляет примерно 0.1...0.2 момента
инерции якоря электродвигателя; примем в дальнейшем Jрпр=0.2Jя).

              Jн
      Jнпр = ──── —приведенный к валу электродвигателя  момент
              iо2

 инерции нагрузки выходного вала, кгŸм2,

               Мст
      Мстпр = ──── —приведенный к валу электродвигателя стати-
              iо.h

 ческий момент нагрузки на выходном валу, Нм,
Мощность электродвигателя в установившемся режиме. 
В установившемся движении (постоянная скорость движения) мощность электродвигателя определяется исходя из статического момента на выходном валу привода по следующей формуле:

                 ┌───────────────────────┐
                 │             МстŸw2    │
                 │   Nдв = xŸ ─────────  │ (1—)
                 │               h       │
                 └───────────────────────┘
Если статический момент на выходе привода отсутствует (имеется только инерционная нагрузка), то мощность электродвигателя не определяют, а его типоразмер подбирается по пусковому моменту Мп исходя из уравнения моментов (см. ниже формулу 1—).
Уравнение моментов, приведенных к валу двигателя 
А. В общем случае движения привода.

      ┌──────────────────────────────────────────┐
      │                                          │
      │  М1-JяŸe1-JрпрŸe1- JнпрŸe1 —Мстпр  = 0  │, (1—),
      │                                          │
      └──────────────────────────────────────────┘
      Б. В установившемся движении (следует из (1—) при e1=0).

             ┌───────────────────────┐
             │                 Мст   │
             │  М1 = Мстпр =  ────   │         (1—),
             │                ioŸh   │
             └───────────────────────┘

       В. Разгон привода,

 Из формулы (1—) следует:

      М1- Мстпр = e1Ÿ(Jя + Jрпр + Jнпр) ,         (1—)
   и

              М1- Мстпр
      e1 = ────────────────  ;                   (1—)
           Jя + Jрпр + Jнпр

             e1        М1- Мстпр
   и   e2 = ─── = ───────────────────── ;        (1—)
             io   (Jя + Jрпр + Jнпр)Ÿio
Очевидно, что максимальное значение угловых ускорений e1 и e2 достигается при М1=Мп.
При этом формулы (1—4) и (1—) дают возможность найти минимально необходимый пусковой момент Мп(min) электродвигателя для достижения максимального углового ускорения на выходе привода e2max, если оно задано в Т.З.
Мп(min) = Мстпр + ioŸe2maxŸ(Jя+Jрпр+Jнпр) ,         (1—)
Произведя подстановки входящих в (1—7) величин, получим:

 ┌───────────────────────────────────────────────────────┐
 │         30ŸМстŸw2       1.2pŸn1ŸJя        30Ÿw2ŸJн         │
 │ Мп(min) = ───────── + e2max────────── + e2max ────────        │
 │          pŸn1Ÿh          30Ÿw2            pŸn1          │
 └───────────────────────────────────────────────────────┘
Паспортное значение пускового момента Мп(пас) для выбираемого электродвигателя (по справочнику) должно быть больше расчетного значения Мп(min), т.е. Мп(пас) ³ Мп(min) .
Фактическое угловое ускорение выходного вала e2=e2max (выражение 1—), которое в состоянии развить выбранный электродвигатель, может быть найдено подстановкой паспортного значения пускового момента электродвигателя Мп=Мп(пас) в выражение (1—).
Величина e2max может быть значительно больше заданного в ТЗ, что приведет к существенному увеличению динамических нагрузок во всех элементах привода, что повлечет за собой увеличение размеров зубчатых колес, валов, опор и т.п.(из условий прочности).

                 30ŸМстŸw2           	
             Мп- ─────────           	

          ┌─────────────────────────────────────┐
          │                 30ŸМстŸw2             │
          │             Мп- ─────────            │
          │                   pŸn1Ÿh             │
          │  e2max= ──────────────────────────    │ ,(1—)
          │                  pŸn1       30Ÿw2     │
          │          1.2ŸJяŸ────── + JнŸ─────     │
          │                  30Ÿw2       pŸn1     │
          └─────────────────────────────────────┘
Для ограничения суммарного момента нагрузки (если имеется такая необходимость) в приводах применяют предохранительные муфты предельного момента.
2. Привод поступательного движения
параметры, относящиеся к редуктору привода поступательного движения:
iо=w1/V2 —передаточное отношение редуктора привода, рад/м,
h —коэффициент полезного действия редуктора,
Pст- статическая сила нагрузки, Н, 
V2 —линейная скорость выходного звена (штока), м/с,
a2 —линейное ускорение выходного звена, м/с2,
mн —масса, присоединенная к выходному звену, кг
Приведенные параметры: 
Jрпр —приведенный к валу электродвигателя собственный момент инерции редуктора, кгŸм2, *Примечание: редуктор представляет собой преобразователь, содержащий вращающиеся и поступательно движущиеся элементы, что нужно иметь в виду при проведении уточненного поверочного расчета Jрпр (после того, как его конструкция будет прорисована).

             mн
      Jнпр = ──── —приведенный к валу электродвигателя  момент
             iо2

 инерции от массы mн на выходном штоке, кгŸм2,

  Мстпр = Рст/(iо.h) —приведенный к валу электродвигателя

 статический момент от статической силы на выходном звене, Нм,
Мощность электродвигателя в установившемся режиме. 
В установившемся движении (постоянная скорость движения) мощность электродвигателя определяется исходя из величины статической силы Рст —при поступательном движении выходного звена привода по следующей формуле:
                  ┌─────────────┐
                  │  PстŸV2             │
                  │Nдв=xŸ─────────│ (2—)
                  │  h     │
                  └──────────────┘
Если статическая сила на выходе привода отсутствует (имеется только инерционная нагрузка), то мощность электродвигателя не определяют, а его типоразмер подбирается по пусковому моменту Мп исходя из уравнения моментов (см. ниже).
Уравнение моментов, приведенных к валу двигателя 
А. В общем случае движения привода.

      ┌──────────────────────────────────────────┐
      │                                          │
      │  М1-JяŸe1-JрпрŸe1- JнпрŸe1 —Мстпр  = 0           │, (2—),
      │                                          │
      └──────────────────────────────────────────┘

      Б. В установившемся движении (следует из (2—) при e1=0).

             ┌───────────────────────┐
             │                 Рст    │
             │  М1 = Мстпр =  ────     │         (2—),
             │                ioŸh    │
             └───────────────────────┘

       В. Разгон привода,

 Из формулы (2—) следует:

      М1- Мстпр = e1Ÿ(Jя + Jрпр + Jнпр) ,         (2—)
   и

              М1- Мстпр
      e1 = ────────────────  ;                   (2)
                             Jя + Jрпр + Jнпр
 
                 М1- Мстпр
   и   a2 = ───────────────────── ;              (4)
                                (Jя + Jрпр + Jнпр)Ÿio

Очевидно, что максимальное значение угловых ускорений e1 и a2 достигается при М1=Мп.
При этом формулы (2—4) и (2—) дают возможность найти минимально необходимый пусковой момент Мп(min) электродвигателя для достижения максимального линейного ускорения на выходе привода a2max, если оно задано в Т.З.
Мп(min) = Мстпр + ioŸa2maxŸ(Jя+Jрпр+Jнпр) ,         (2)
Произведя сюда подстановки значений Мстпр, io и Jнпр,
получим:

  ┌─────────────────────────────────────────────────────┐
  │         РстŸV2      w1       æ         mн.V22   ö        │
  │  Мп(min) = ────── + ───Ÿa2maxŸ ç Jя+Jрпр+ ──────── ç       │, (2—)
  │         w1Ÿh      V2       è          w12     þ        │
  └─────────────────────────────────────────────────────┘
и, если принять Jрпр=0.2ŸJя , то после преобразований получим значение минимально необходимого пускового момента Мп(min) электродвигателя в таком виде

┌──────────────────────────────────────────────────────────┐
│           30ŸРстŸV2         æ     1.2ŸpŸn1       30.V22 ö       │
│ Мп(min) = ───────── + a2maxŸ  çJяŸ ──────── + mнŸ ──────       ç        │
│            pŸn1Ÿh           è     30ŸV2         pŸn1  þ      │
└──────────────────────────────────────────────────────────┘

 Максимальное фактическое ускорение при подстановке в уравнение пас-

портной величины пускового момента Мп будет:
                      30ŸРстŸV2         	
                 Мп —─────────         	

      ┌────────────────────────────────────────┐
      │                      30ŸРстŸV2         │
      │                 Мп —─────────         │
      │                       pŸn1Ÿh           │
      │   a2max =  ─────────────────────────── │, (2—)
      │                 1.2ŸpŸn1       30.V22  │
      │             JяŸ ──────── + mнŸ ──────  │
      │                   30ŸV2         pŸn1   │
      └────────────────────────────────────────┘
3. Время разгона привода
На рис. 1 представлен график переходного процесса установления скорости вращения вала электродвигателя привода при запуске (включении) —“кривая разгона”. На произвольном участке кривой угловое ускорение определяется как e1=dw/dt (или e1=Dw/Dt). Максимальное значение ускорения развивается в момент пуска электродвигателя (точка А на кривой разгона). Касательная к кривой разгона в точке А определяет величину постоянной времени t привода, которая связана с максимальным угловым ускорением как e1max=wном/t ,

                 pŸn1
      где wном= ──────
                  30
              Р

                               Рис.1
Максимальное угловое ускорение вала двигателя (1—) может быть вычислено по формуле
                        МпŸpŸn1    Мст         	
                       ──────── —────         	

     ┌───────────────────────────────────────────────┐
     │                        МпŸpŸn1    Мст         │
     │                       ──────── —────         │
     │           pŸn1         30Ÿw2       h          │
     │ e1max= e2Ÿ───── = ──────────────────────────  │ , (3—)
     │           30Ÿw2            pŸn1       30Ÿw2   │
     │                    1.2ŸJяŸ────── + JнŸ─────   │
     │                            30Ÿw2       pŸn1   │
     └───────────────────────────────────────────────┘
Откуда определяется t=wном/e1max. Время разгона привода принимают tразг=3t.
Подобным образом определяют время разгона привода поступательного движения.
4.  Уточненное время разгона привода
Из выражения (1) можно записать уравнение моментов (на входном валу редуктора) для произвольного момента времени в виде:

      ┌────────────────────────────────────────────┐
      │                                            │
      │  Мi-JяŸe1i-JрпрŸe1i- JнпрŸe1i —Мстпр = 0  │  (4—),
      │                                            │
      └────────────────────────────────────────────┘
где Мi —текущее значение переменного момента двигателя, который может быть записан (для линейной характеристики, например, для двигателей постоянного тока с постоянным магнитом) в виде
Мi(w)= Мп- kŸwi или Мi(n)= Мп- kŸni , где
ni —текущее (по характеристике М(n)) значение частоты вращения вала двигателя, об/мин,
e1i —текущее значение углового ускорения вала двигателя,рад/с2,
k=dM/dw —коэффициент наклона характеристики двигателя.
Для двигателей постоянного тока k=Мп/nхх и, следовательно,
Мi=Мп(1 —ni/nхх), где nхх —частота вращения вала двигателя при холостом ходе.
Тогда
Мп(1 —ni/nхх)-Мстпр=e1i(Jя+Jрпр+Jнпр)

          ┌───────────────────────────────────┐
          │   Мi- Мстпр=e1i (Jя+Jрпр+ Jнпр) │   (4—)
          └───────────────────────────────────┘

   Выражение (4—) может быть решено относительно e1i

          ┌─────────────────────────┐
          │          Мi- Мстпр      │
          │ e1i= ───────────────    │    (4—)
          │      (Jя+Jрпр+ Jнпр)  │
          └─────────────────────────┘

            или

          ┌─────────────────────────────────┐
          │        Мп(1 —ni/nхх) —Мстпр   │
          │  e1i= ───────────────────────   │  (4—)
          │           (Jя+Jрпр+ Jнпр)     │
          └─────────────────────────────────┘
Для решения уравнения (4—) относительно времени t с помощью ЭВМ удобно использовать метод разбиения характеристики w(t) на достаточно малые участки, полагая e1(t)= Dw/Dt для каждого из них. Тогда отрезок времени Dt(i) между границами i‑го участка из (2—) будет

              ┌────────────────────────────────┐
              │            Dw.(Jя+Jрпр+Jнпр) │
              │   Dt(i)=   ──────────────────  │ (4—)
              │                Мi-  Мстпр      │
              └────────────────────────────────┘
Суммируя все Dt(i) в пределах характеристики от Мп до Мном, получим полное время разгона механизма.
Уравнение (2—) может быть использовано и в частных случаях нагружения привода при Мстпр=0 и (или) Jнпр=0.
3.  Алгоритм построения машинной программы. 
Ввод параметров:
(двигатель уже подобран по мощности и выбран по типоразмеру) а)  Из паспортных данных двигателя ввести
Мп, nхх, Jя, Мн 
б)  Из данных нагрузки на выходном валу привода
Мст, w2, e2, Jн 
в)  h —коэффициент полезного действия редуктора,
г) Число участков разбиения характеристики — m
Рассчитать
— передаточное отношение редуктора привода
iо=w1/w2,
— приведенный момент инерции нагрузки

                         Jн
                  Jнпр= ────
                         iо2

   —приведенный статический момент нагрузки Мстпр

                              Мст
                     Мстпр = ────
                             iо.h
—Jрпр= 0.2.Jя (принимается по сказанному выше) - wхх=p.nхх/30 - Dw=wхх/m
—  k=Мп/nхх 
До вычислений в цикле установить начальные значения:
М1=Мп , t=0 , w1=0 
В ЦИКЛЕ 
For i=0 to m
M1=M1-k.Dw 
проверить —if M1<=Мстпр then end (или в какую-то точку программы)

           Dw.(Jя+Jрпр+Jнпр)
     Dt = ──────────────────
               Мi-  Мстпр

     t=t+Dt     '‑‑суммирование времени

     w=w+Dw     '‑‑только для контроля —по угловой скорости

   Next
Вывод на экран результата 
t, (i, M1, Мстпр, 30.w/p=n1 —только для контроля работы цикла)
Конец алгоритма
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ.
В случае применения двигателей постоянного тока типа ДПМ или ДПР с большим запасом мощности x происходит фактическое увеличение частоты вращения вала электродвигателя как показано на рис.2.
R 
Рис.2
Дополнительная литература: 
Буцев А.А., Коваленко А.П., Котов А.Н., Проектирование приборных приводов, учебное пособие по курсу “Основы конструирования приборов”, М.,1988, изд. МВТУ, 44 стр. с илл.