R=Table[Normal[Series[Sin[x],{x,0,i}]],{i,1,10,2}]
Plot[{Sin[x],R},{x,-2*3.14,2*3.14},PlotRange->{-2,2}]
Plot[{Sin[x]-R},{x,-3*3.14,4*3.14}]

Решение дифференциальных уравнений

t1=0 (*Начало отрезка, на котором следует найти решение*)

t2=10 (*Конец отрезка, на котором следует найти решение*)

a=-1

b=3

t0=0

y0=0

sol=NDSolve[{D[y[t],t]==a y[t]+b,y[t0]==y0},y,{t,t1,t2}]

Plot[y[t]/.sol,{t,t1,t2},PlotRange->{1,0}]

f[z_]:=a z+b

n=100(*Количество шагов(отрезков разбиения)*)
h=(t2-t1)/n (*Шаг*)
Solut={{t0,y0}}
For[i=2,i<n+2,Solut=Append[Solut,{h*(i-1),Solut[[i-1,2]]+h f[Solut[[i-1,2]]]}];i++]
ListPlot[Solut,PlotRange->{1,10}]