1. Линеаризация уравнения момента тангажа

Динамические уравнения вращательного движения

MatrixForm[TI={{Ixx,-Ixy,-Ixz},{-Iyx,Iyy,-Iyz},{-Izx,-Izy,Izz}}] (*Тензор инерции*)

Ixz=Izx=Iyz=Izy=0 (*Ось OZ перпендикулярна плоскости симметрии XOY*)

Iyx=Ixy

MatrixForm[TI] (*Окончательное выражение для тензора инерции*)

w={wx[t],wy[t],wz[t]} (*Вектор угловой скорости ЛА в связанной системе координат*)

MatrixForm[K=TI.w] (*Главный момент количеств движения в связанной системе координат*)

M={Mx,My,Mz} (*Результирующий момент аэродинамических сил и тяги в связанной системе координат(Момент силы тяжести, центробежных и кориолисовых сил инерции вокруг центра масс ЛА равен нулю)*)

Mz=Mrz-P*yp*Cos[fip]

lchudvd=D[K,t]+Cross[w,K] (*Полная производная по времени главного вектора момента количеств движения*)

Полная производная главного вектора момента количеств движения равна главному моменту внешних сил, действующих на тело.

UrT=lchudvd[[3]]==M[[3]] (*Уравнение момента тангажа*)

Исходное основное уравнение момента тангажа :

w={wx0[t],wy0[t],wz0[t]};
MatrixForm[K=TI.w];
M={Mx0,My0,Mz0};
Mz0=Mrz0-P0*yp*Cos[fip];
IOU=D[K,t][[3]]+Cross[w,K][[3]]==M[[3]]

Исходное возмущенное уравнение момента тангажа :

w={wx1[t],wy1[t],wz1[t]};
MatrixForm[K=TI.w];
M={Mx1,My1,Mz1};
Mz1=Mrz1-P1*yp*Cos[fip];
wx1[t]=wx0[t]+dwx[t];
wy1[t]=wy0[t]+dwy[t];
wz1[t]=wz0[t]+dwz[t];
Mrz1=Mrz0+dMrz;
P1=P0+dP;
IVU=D[K,t][[3]]+Cross[w,K][[3]]==M[[3]]

Получаем возмущенное уравнение момента тангажа, т.е. уравнение в вариациях:

UrVD=IVU[[1]]-IOU[[1]]==Simplify[IVU[[2]]-IOU[[2]]]

Исходное основное движение ЛА - прямолинейный горизонтальный полет: wx0[t]=0, wy0[t]=0 ,wz0[t]=0, wz0'[t]=0.
Пренебрежем вторым порядком малости, т.е. произведения вариаций и их степени выше 1-й приравняем к нулю.

UrVD=ReplaceAll[UrVD,{wx0[t]->0,wy0[t]->0,wz0[t]->0,wz0'[t]->0,((dwx[t])^2)->0,((dwy[t])^2)->0,dwx[t] dwy[t]->0}]

Т.к. силы и моменты зависят от параметров полета и соответственно, на их величины влияют частные производные от этих параметров, то можно записать:

dMrz=D[Mrz[wz],wz]*wz+D[Mrz[alpha],alpha]*dalpha+D[Mrz[Mah],Mah]*dv/a+D[Mrz[D[alpha[t],t]],D[alpha[t],t]]*D[alpha[t],t]+D[Mrz[drv],drv]*drv+D[Mrz[dzak],dzak]*dzak

dP=D[P[dsg],dsg]*dsg+D[P[dv],dv]*dv

Уточненное уравнение имеет вид:

UrVD

Вычтем из левой части уравнения правую и разделим получившееся уравнение на коэффициент при производной угловой скорости тангажа:

UrVD=(UrVD[[1]]-UrVD[[2]])/Izz==0

Clear[M,P]
UrVD=ReplaceAll[UrVD,{Mrz'[alpha]->(Subscript[M, z]^α),Mrz'[drv]->(Subscript[M, z]^(Subscript[δ, В])),Mrz'[dzak]->(Subscript[M, z]^(Subscript[δ, З])),Mrz'[Mah]->(Subscript[M, z]^M),Mrz'[wz]->(Subscript[M, z]^(Subscript[ω, z])),P'[dsg]->(P^(Subscript[δ, СГ])),P'[dv]->(P^v),Mrz'[alpha'[t]]->(Subscript[M, z]^(OverDot[α]))}]

Линеаризованное уравнение момента тангажа:

U1=({(Subscript[(OverDot[ω]), z]),(Subscript[ω, z]),(OverDot[α]),α,Δv,(Subscript[δ, В]),(Subscript[δ, СГ]),(Subscript[δ, З])}.{{1},{c1},{c5},{c2},{e3},{с3},{r3},{c12}})[[1]]==0

Коэффициенты линейного уравнения:

c1=D[UrVD[[1]],wz]

c2=D[UrVD[[1]],dalpha]

с3=D[UrVD[[1]],drv]

c5=D[UrVD[[1]],alpha'[t]]

c12=D[UrVD[[1]],dzak]

e3=D[UrVD[[1]],dv]

r3=D[UrVD[[1]],dsg]

U2=({(Subscript[(OverDot[ω]), z]),(Subscript[ω, z]),(OverDot[α]),α,Δv,(Subscript[δ, В]),(Subscript[δ, СГ]),(Subscript[δ, З])}.{{1},{c1},{c5},{c2},{e3},{с3},{r3},{c12}})[[1]]==0

Запишем коэффициенты в принятой форме :

c1=ReplaceAll[c1,(Subscript[M, z]^(Subscript[ω, z]))->(Subscript[m, z]^(Subscript[ω, z]))((ρV)/2)(Subscript[Sb, A]^2)]

c2=ReplaceAll[c2,(Subscript[M, z]^α)->(Subscript[m, z]^α)(((ρV)^2)/2)(Subscript[Sb, A])]

с3=ReplaceAll[с3,(Subscript[M, z]^(Subscript[δ, В]))->(Subscript[m, z]^(Subscript[δ, В]))(((ρV)^2)/2)(Subscript[Sb, A])]

c5=ReplaceAll[c5,(Subscript[M, z]^(OverDot[α]))->(Subscript[m, z]^(OverDot[α]))((ρV)/2)(Subscript[Sb, A]^2)]

c12=ReplaceAll[c12,(Subscript[M, z]^(Subscript[δ, З]))->(Subscript[m, z]^(Subscript[δ, З]))(((ρV)^2)/2)(Subscript[Sb, A])]

e3=ReplaceAll[e3,(Subscript[M, z]^M)->(Subscript[m, z]^M)(((ρV)^2)/2)(Subscript[Sb, A])]

Окончательное выражение имеет вид :

U3=({(Subscript[(OverDot[ω]), z]),(Subscript[ω, z]),(OverDot[α]),α,Δv,(Subscript[δ, В]),(Subscript[δ, СГ]),(Subscript[δ, З])}.{{1},{c1},{c5},{c2},{e3},{с3},{r3},{c12}})[[1]]==0